Prozentrechnung: Formel, Erklärung und Beispiele

Die Prozentrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Verhältnissen und Anteilen beschäftigt. Das Wort "Prozent" stammt vom lateinischen "pro centum" und bedeutet "von hundert". Ein Prozentsatz gibt also an, welchen Anteil ein Wert an einer Gesamtmenge von 100 hat.

Im Alltag begegnen uns Prozente ständig: Rabatte im Geschäft, Zinssätze bei der Bank, Mehrwertsteuer auf Rechnungen oder die Inflationsrate in den Nachrichten. Ein gutes Verständnis der Prozentrechnung hilft dabei, finanzielle Entscheidungen besser zu treffen und Angebote richtig einzuschätzen.

Die Prozentrechnung basiert auf drei Grundgrößen: dem Grundwert (G), dem Prozentsatz (p) und dem Prozentwert (W). Kennt man zwei dieser Größen, lässt sich die dritte berechnen.

Je nachdem, welche Größe gesucht ist, gibt es drei verschiedene Formeln:

1. Prozentwert berechnen: W = G × p / 100

Beispiel: Was sind 15 % von 200 €? → W = 200 × 15 / 100 = 30 €

2. Prozentsatz berechnen: p = W / G × 100

Beispiel: 45 von 300 sind wie viel Prozent? → p = 45 / 300 × 100 = 15 %

3. Grundwert berechnen: G = W / p × 100

Beispiel: 30 € sind 20 % von welchem Betrag? → G = 30 / 20 × 100 = 150 €

Eine häufige Aufgabe ist die Berechnung der prozentualen Veränderung zwischen zwei Werten. Die Formel lautet:

Prozentuale Veränderung = (Neuer Wert − Alter Wert) / Alter Wert × 100

Beispiel: Ein Produkt kostete früher 80 € und kostet jetzt 92 €. Die Preiserhöhung beträgt: (92 − 80) / 80 × 100 = 15 %.

Bei einer Preissenkung ergibt sich ein negativer Wert. Wenn ein Artikel von 120 € auf 96 € reduziert wird: (96 − 120) / 120 × 100 = −20 %. Der Preis ist also um 20 % gesunken.

Diese Berechnung ist besonders nützlich beim Vergleichen von Gehaltsentwicklungen, Aktienrenditen oder Inflationsraten.

Zwei der häufigsten Anwendungen der Prozentrechnung im Alltag sind die Mehrwertsteuer und Rabatte.

Mehrwertsteuer (MwSt.): In Deutschland beträgt der reguläre Mehrwertsteuersatz 19 %, der ermäßigte Satz 7 %. Um den Bruttobetrag zu berechnen: Brutto = Netto × (1 + MwSt.-Satz / 100). Bei einem Nettobetrag von 100 € ergibt sich: 100 × 1,19 = 119 €.

Um vom Bruttobetrag den Nettobetrag zu erhalten: Netto = Brutto / (1 + MwSt.-Satz / 100). Also: 119 / 1,19 = 100 €.

Rabatte: Bei einem Rabatt von 25 % auf einen Artikel von 80 € berechnet man: Rabatt = 80 × 25 / 100 = 20 €. Der reduzierte Preis beträgt also 60 €. Alternativ: 80 × (1 − 25/100) = 80 × 0,75 = 60 €.

Bei der Prozentrechnung gibt es einige häufige Fehler, die man vermeiden sollte:

1. Prozentpunkte vs. Prozent: Wenn ein Zinssatz von 2 % auf 3 % steigt, ist das ein Anstieg um 1 Prozentpunkt, aber eine Erhöhung um 50 % (relativ). Diese Unterscheidung ist besonders bei Zinsen und Steuersätzen wichtig.

2. Aufschlag und Abschlag: Ein Aufschlag von 20 % und ein anschließender Abschlag von 20 % ergeben nicht den Ausgangswert. Beispiel: 100 € + 20 % = 120 €, aber 120 € − 20 % = 96 €.

3. Falsche Bezugsgröße: Bei der prozentualen Veränderung muss immer klar sein, was der Bezugswert (100 %) ist. "50 % mehr" ist nicht das Gleiche wie "50 % von".